Le jeu de Monty Hall

L'objectif de cette activité est de déterminer quelle est le choix le plus intéressant à faire lors d'un célèbre jeu télévisé.

Dans les années 1960-1970 aux États Unis, Monty Hall a présenté dans son émission télévisée Let's make a deal un jeu qui se déroulait de la manière suivante.

On montre au candidat trois portes fermées.
Derrière l'une de ces portes se trouve une voiture et derrière les deux autres une chèvre.
Le candidat sélectionne alors une porte sans l'ouvrir. Une fois la porte choisie, Monty Hall, qui sait ce qui se trouve derrière chaque porte, ouvre l'une des deux autres portes derrière laquelle se trouve une chèvre. Il informe ensuite le candidat qu'il peut ouvrir sa porte initiale ou changer et ouvrir la dernière porte restante.

1. Y a-t-il une stratégie qui permet d'avoir plus de chance de gagner une voiture ?

2. a. Le programme Scratch simule le jeu.
Jouer 30 parties et noter dans le tableau suivant le nombre de fois où on gagne une voiture ou une chèvre lorsqu'on garde la porte choisie au début (porte initiale) ou lorsqu'on change de porte (porte changée).

    b. À partir du tableau rempli, calculer la fréquence de gain de la voiture avec changement de porte et sans changement de porte.
    c. Ceci confirme-t-il la conjecture émise à la question 1 ?

3. On note  \(\text V\) l'événement « La porte choisie cache la voiture »,  \(\text C_1\)  : « La porte choisie cache la première chèvre » et  \(\text C_2\)  : « La porte choisie cache la deuxième chèvre ».
    a. Compléter l'arbre pondéré suivant dans le cas où la porte initiale est gardée.

    b. Sur le même modèle, construire l'arbre de probabilité dans le cas où le candidat change de porte.
   c. Calculer et comparer la probabilité de gagner la voiture dans chaque cas. Conclure : y a-t-il une meilleure stratégie ?